K:图相关的最小生成树(MST)

相关介绍:

 根据树的特性可知,连通图的生成树是图的极小连通子图,它包含图中的全部顶点,但只有构成一棵树的边;生成树又是图的极大无回路子图,它的边集是关联图中的所有顶点而又没有形成回路的边。

 一个有n个顶点的连通图的生成树只有n-1条边。若有n个顶点而少于n-1条边,则是非连通图(将其想成有n个顶点的一条链,则其为连通图的条件是至少有n-1条边);若多于n-1条边,则一定形成回路。值得注意的是,有n-1条边的生成子图,并不一定是生成树。此处,介绍一个概念。:指的是边带有权值的图。

 在一个网的所有生成树中,权值总和最小的生成树,称之为最小代价生成树,也称为最小生成树。

克鲁斯卡尔(Kruskal)算法:

 克鲁斯卡尔算法是根据边的权值递增的方式,依次找出权值最小的边建立的最小生成树,并且规定每次新增的边,不能造成生成树有回路,直到找到n-1条边为止。

基本思想:设图G=(V,E)是一个具有n个顶点的连通无向网,T=(V,TE)是图的最小生成树,其中V是T的顶点集,TE是T的边集,则构造最小生成树的具体步骤如下:

  1. T的初始状态为T=(V,空集),即开始时,最小生成树T是图G的生成零图

  2. 将图G中的边按照权值从小到大的顺序依次选取,若选取的边未使生成树T形成回路,则加入TE中,否则舍弃,直至TE中包含了n-1条边为止

下图演示克鲁斯卡尔算法的构造最小生成树的过程:

图片 1

其示意代码如下:

相关代码

package all_in_tree;

import java.util.Comparator;
import java.util.PriorityQueue;
import java.util.Queue;

import algorithm.PathCompressWeightQuick_Union;
import algorithm.UF;

/**
 * 该类用于演示克鲁斯卡尔算法的过程
 * @author 学徒
 *
 *由于每次添加一条边时,需要判断所添加的边是否会产生回路,而回路的产生,当且仅当边上的两个节点处在同一个连通
 *分支上,为此,可以使用Union-Find算法来判断边上的两个点是否处在同一个连通分支上
 *
 */
public class Kruskal
{
    //用于记录节点的数目
    private int nodeCount;
    //用于判断是否会形成回路
    private UF unionFind;
    //用优先级队列,每次最先出队的是其权值最小的边
    private Queue<Edge> q;
    //用于存储图的生成树
    private Edge[] tree;
    /**
     * 初始化一个图的最小生成树所需的数据结构
     * @param n 图的节点的数目
     */
    public Kruskal(int n)
    {
        this.nodeCount=n;
        tree=new Edge[n-1];
        unionFind=new PathCompressWeightQuick_Union(n);
        Comparator<Edge> cmp=new Comparator<Edge>()
        {
            @Override
            public int compare(Edge obj1,Edge obj2)
            {
                int obj1W=obj1.weight;
                int obj2W=obj2.weight;
                if(obj1W<obj2W)
                    return -1;
                else if(obj1W>obj2W)
                    return 1;
                else
                    return 0;
            }
        };
        q=new PriorityQueue<Edge>(11,cmp);
    }
    /**
     * 用于添加一条边
     * @param edge 所要进行添加的边
     */
    public void addEdge(Edge edge)
    {
        q.add(edge);
    }

    /**
     * 用于生成最小生成树
     * @return 最小生成树的边集合
     */
    public Edge[] getTree()
    {
        //用于记录加入图的最小生成树的边的数目
        int edgeCount=0;
        //用于得到最小生成树
        while(!q.isEmpty()&&edgeCount<this.nodeCount-1)
        {
            //每次取出权值最小的一条边
            Edge e=q.poll();
            //判断是否产生回路,当其不产生回路时,将其加入到最小生成树中
            int index1=unionFind.find(e.node1);
            int index2=unionFind.find(e.node2);
            if(index1!=index2)
            {
                tree[edgeCount++]=e;
                unionFind.union(e.node1, e.node2);
            }
        }
        return tree;
    }
}

/**
 * 测试用例所使用的类,该类的测试用例即为上图中中所示的Kruskal算法最小生成树的构造
 * 过程的示例图,且其节点编号从0开始,而不从1开始
 * @author 学徒
 *
 */
class Test
{
    public static void main(String[] args)
    {
        Kruskal k=new Kruskal(6);
        k.addEdge(new Edge(0,3,5));
        k.addEdge(new Edge(0,1,6));
        k.addEdge(new Edge(1,4,3));
        k.addEdge(new Edge(4,5,6));
        k.addEdge(new Edge(3,5,2));
        k.addEdge(new Edge(0,2,1));
        k.addEdge(new Edge(1,2,5));
        k.addEdge(new Edge(2,4,6));
        k.addEdge(new Edge(2,5,4));
        k.addEdge(new Edge(2,3,6));
        Edge[] tree=k.getTree();
        for(Edge e:tree)
        {
            System.out.println(e.node1+" --> "+e.node2+"  : "+e.weight);
        }
    }
}

/**
 * 图的边的数据结构
 * @author 学徒
 *
 */
class Edge
{
    //节点的编号
    int node1;
    int node2;
    //边上的权值
    int weight;

    public Edge()
    {
    }
    public Edge(int node1,int node2,int weight)
    {
        this.node1=node1;
        this.node2=node2;
        this.weight=weight;
    }
}


运行结果:
0 --> 2  : 1
3 --> 5  : 2
1 --> 4  : 3
2 --> 5  : 4
1 --> 2  : 5

ps:上述代码中所用到的Union-Find算法的相关代码及解析,请点击 K:Union-Find(并查集)算法 进行查看

分析 :该算法的时间复杂度为O(elge),即克鲁斯卡尔算法的执行时间主要取决于图的边数e,为此,该算法适用于针对稀疏图的操作

普里姆算法(Prim):

 为描述的方便,在介绍普里姆算法前,给出如下有关距离的定义:

  1. 两个顶点之间的距离:是指将顶点u邻接到v的关联边的权值,即为|u,v|。若两个顶点之间无边相连,则这两个顶点之间的距离为无穷大

  2. 顶点到顶点集合之间的距离:顶点u到顶点集合V之间的距离是指顶点u到顶点集合V中所有顶点之间的距离中的最小值,即为|u,V|=(min|u,v| , vin V)

  3. 两个顶点集合之间的距离:顶点集合U到顶点集合V的距离是指顶点集合U到顶点集合V中所有顶点之间的距离中的最小值,记为|U,V|=(min|u,V| , uin U)

基本思想:假设G=(V,E)是一个具有n个顶点的连通网,T=(V,TE)是网G的最小生成树。其中,V是R的顶点集,TE是T的边集,则最小生成树的构造过程如下:从U={u0},TE=(varnothing)开始,必存在一条边(u,v),u(in U),v(in V-U),使得|u,v|=|U,V-U|,将(u,v)加入集合TE中,同时将顶点v*加入顶点集U中,直到U=V为止,此时,TE中必有n-1条边(最小生成树存在的情况),最小生成树T构造完毕。下图演示了使用Prim算法构造最小生成树的过程

图片 2

其示意代码如下:

相关代码

package all_in_tree;
/**
 * 该类用于演示Prim算法构造最小生成树的过程
 * @author 学徒
 *
 */
public class Prim
{
    //用于记录图中节点的数目
    private int nodeCount;
    //用于记录图的领接矩阵,其存储对应边之间的权值
    private int[][] graph;
    //用于记录其对应节点是否已加入集合U中,若加入了集合U中,则其值为true
    private boolean[] inU;
    //用于记录其生成的最小生成树的边的情况
    private Edge[] tree;
    //用于记录其下标所对的节点的编号相对于集合U的最小权值边的权值的情况
    private int[] min;
    //用于记录其下标所对的节点的最小权值边所对应的集合U中的节点的情况
    private int[] close;
    /**
     * 用于初始化
     * @param n 节点的数目
     */
    public Prim(int n)
    {
        this.nodeCount=n;
        this.graph=new int[n][n];
        //初始化的时候,将各点的权值初始化为最大值
        for(int i=0;i<n;i++)
        {
            for(int j=0;j<n;j++)
            {
                graph[i][j]=Integer.MAX_VALUE;
            }
        }
        this.inU=new boolean[n];
        this.tree=new Edge[n-1];
        this.min=new int[n];
        this.close=new int[n];
    }

    /**
     *用于为图添加一条边 
     * @param edge 边的封装类
     */
    public void addEdge(Edge edge)
    {
        int node1=edge.node1;
        int node2=edge.node2;
        int weight=edge.weight;
        graph[node1][node2]=weight;
        graph[node2][node1]=weight;
    }

    /**
     * 用于获取其图对应的最小生成树的结果
     * @return 由最小生成树组成的边的集合
     */
    public Edge[] getTree()
    {
        //用于将第一个节点加入到集合U中
        for(int i=1;i<nodeCount;i++)
        {
            min[i]=graph[0][i];
            close[i]=0;
        }
        inU[0]=true;
        //用于循环n-1次,每次循环添加一条边进最小生成树中
        for(int i=0;i<nodeCount-1;i++)
        {
            //用于记录找到的相对于集合U中的节点的最小权值的节点编号
            int node=0;
            //用于记录其相对于集合U的节点的最小的权值
            int mins=Integer.MAX_VALUE;
            //用于寻找其相对于集合U中最小权值的边
            for(int j=1;j<nodeCount;j++)
            {
                if(min[j]<mins&&!inU[j])
                {
                    mins=min[j];
                    node=j;
                }
            }
            //用于记录其边的情况
            tree[i]=new Edge(node,close[node],mins);
            //修改相关的状态
            inU[node]=true;
            //修改其相对于集合U的情况
            for(int j=1;j<nodeCount;j++)
            {
                if(!inU[j]&&graph[node][j]<min[j])
                {
                    min[j]=graph[node][j];
                    close[j]=node;
                }
            }
        }
        return tree;
    }
}

class Edge
{
    //节点的编号
    int node1;
    int node2;
    //边上的权值
    int weight;

    public Edge()
    {
    }
    public Edge(int node1,int node2,int weight)
    {
        this.node1=node1;
        this.node2=node2;
        this.weight=weight;
    }
}

/**
 * 测试用例所使用的类,该类的测试用例即为上图中中所示的Prim算法最小生成树的构造
 * 过程的示例图,且其节点编号从0开始,而不从1开始
 * @author 学徒
 *
 */
class Test
{
    public static void main(String[] args)
    {
        Prim k=new Prim(6);
        k.addEdge(new Edge(0,3,5));
        k.addEdge(new Edge(0,1,6));
        k.addEdge(new Edge(1,4,3));
        k.addEdge(new Edge(4,5,6));
        k.addEdge(new Edge(3,5,2));
        k.addEdge(new Edge(0,2,1));
        k.addEdge(new Edge(1,2,5));
        k.addEdge(new Edge(2,4,6));
        k.addEdge(new Edge(2,5,4));
        k.addEdge(new Edge(2,3,5));
        Edge[] tree=k.getTree();
        for(Edge e:tree)
        {
            System.out.println(e.node1+" --> "+e.node2+"  : "+e.weight);
        }
    }
}


运行结果如下:
2 --> 0  : 1
5 --> 2  : 4
3 --> 5  : 2
1 --> 2  : 5
4 --> 1  : 3

总结:kruskal算法的时间复杂度与求解最小生成树的图中的边数有关,而prim算法的时间复杂度与求解最小生成树的图中的节点的数目有关。为此,Kruskal算法更加适用于稀疏图,而prim算法适用于稠密图。当e>=n^2时,kruskal算法比prim算法差,但当e=O(n^2)时,kruskal算法却比prim算法好得多。

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最小生成树:

 根据生成树的定义,具有n个顶点的连通图的生成树,有n个顶点和n-1条边。因此,构造最小生成树的准则有以下3条:

  1. 只能使用图中的边构造最小生成树
  2. 当且仅当使用n-1条边来连接图中的n个顶点
  3. 不能使用产生回路的边

需要注意的一点是,尽管最小生成树一定存在,但其并不一定是唯一的。以下介绍求图的最小生成树的两个典型的算法,分别为克鲁斯卡尔算法(kruskal)和普里姆算法(prim)

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